球王会自18世纪以来，为了满足对证据法理论体系的迫切需要，吉尔伯特、边沁、威格摩尔、麦考密克等学者专注于从学理上阐述证据规则。在证据法学的第一次浪潮中，证据理论的整个系统基本完成，学者们开始关注证据规则的制定。到了1975年，美国国会颁布了《联邦证据规则》，掀起了证据法学的第二次浪潮。学者们更多地致力于规则研究，大量关于证据的重要文章涌现于法律评论中。然而，伦伯特认为，尽管这些文章可能具有潜在的价值，但联邦证据规则在很大程度上仍然与制定时相似，它们很少能够实现预期的效果。因此，证据法学领域陷入了停滞不前的状态。

　　在20世纪80年代，新证据法学的出现引发了证据研究的第三次浪潮，1984年和1988年牛津大学朱克曼组织了两次法律领域中概率与证据的研讨会，以及1986年蒂勒斯在波士顿大学法学院举办的“证据法中概率与推论”研讨会就是见证。它们改变了证据法学的研究方向，将学者们的关注点由证据规则转向了证明过程。“新证据法学”一词已经涵盖了关于证据的所有交叉和跨学科的创新研究，例如证据的论证理论、融贯理论、相对似真性理论等球王会。新证据法学家坚定地以理性主义传统为基础，寻求构建或批判数学模型，用以作为证明模式或理解审判过程。数学成为证据法学跨学科的研究主题，并得到国际著名法律期刊的支持。

　　新证据法学最初是由于对涉及法律中概率问题的一系列争论而出现的。在这些争论中，一方主张贝叶斯推论模式对理解或适用法律发挥了作用，而另一方则批评或反对这种立场。这些问题主要源于1968年的“人民诉柯林斯”一案，该案在运用概率方法处理统计证据时遇到了问题。基于该案中的概率计算错误，学者们就“概率论在审判中应如何发挥作用”展开激烈辩论，在《哈佛法律评论》引发了一场著名的概率之争。芬克尔斯坦和费尔利在他们的文章《辨认证据的贝叶斯方法》中认为，柯林斯案的真正问题不在于控方试图使用统计推理，而是未能以最适合陪审团决策任务的方式即贝叶斯定理向陪审团提供统计信息。然而，却伯在他著名的《通过数学来审判》一文中指出，芬克尔斯坦和费尔利所使用的贝叶斯模型作为一种可疑的量化方法，忽视了司法程序所要表达的法律价值，并且它所带来的错误风险会增加诉讼成本。

　　一般认为，却伯赢得了这场特殊的论战。正如艾伦所主张，贝叶斯方法可以作为理性思考的指南，而非法庭决策的具体蓝图。然而，却伯的论文并未消弭法律领域中的概率之争，反而激发了学者们对概率论和证据问题的更大兴趣。伦伯特在其影响深远的论文《建模相关性》中强调，对于法学家来说，概率分析在处理证据问题上具有多方面的益处。在微观层面，基于贝叶斯方法的似然比模型能够统一解释证据的相关性和证明力。自柯林斯案以来，似然比模型在法庭科学领域的研究引发了一阵热潮，1990年始创的“法庭科学推论与统计国际会议”在美国和欧洲轮流举办，吸引了法学家、律师和统计学家共同讨论法庭科学证据的概率推理问题。贝叶斯方法和似然比模型在英美法系国家的司法实践中被广泛应用，尤其是自1990年之后，似然比模型已成为DNA法庭科学比对方面的标准做法。

　　在宏观层面上，贝叶斯概率论和司法证明有着内在的关联球王会。借助贝叶斯方法，人们可以探究新证据会在何种程度上改变事实认定者对案件真实性的评价。这种方法还能帮助人们理解“为何犯罪前科对于被告的指控并无显著证明价值”等问题。正如卡利森所言，对事实认定的综合性概率分析可以提供更好的线索球王会，指示哪些要素会影响事实的裁决。利用概率阈值，还可以对证明标准进行量化解释，即运用概率论建模优势证据标准和排除合理怀疑标准。概率阈值是根据贝叶斯决策理论得出的数值，其取值范围从0到1。凯耶认为，民事诉讼中证明标准的概率阈值可设为0.5。蒂勒斯主张，刑事诉讼中证明标准的概率阈值应当是0.95。魏因斯坦法官同意蒂勒斯的观点，并建议使用清晰的语言和量化的陈述来解释这些标准的合理性。

　　继《哈佛法律评论》上的概率之争，《刑事法律评论》上的概率之争探讨了概率理论在法律应用中一系列具体困境，即科恩悖论。科恩悖论是司法概率论的研究主题，其中合取难题、逃票者悖论和参考类难题是科恩悖论中最著名的“三大难题”。

　　合取难题最初由科恩在其《可能的与可证明的》著作中提出。合取难题包含两个版本。第一种是证据合取，即在同时考虑多个证据的情况下，案件事实的概率会低于仅考虑单个证据情况下的概率。这与司法实践相矛盾，因为多个证据的证明力应该大于单个证据证明力。第二种是事实合取，在民事诉讼中，如果原告主张的事实包含两个或更多的分支要件时，每个分支要件都必须成立才能确保胜诉。艾伦指出，在合取难题中，随着分支要件数量的增加，每个分支所需要的概率值也会随之增加。要使整个案件合取的概率超过0.5，那么每个分支要件概率必须远超过0.5。这与法律要求并不相符，因为法律通常要求原告以略高于0.50的概率证明其案件的每个要素。实际上，这两个版本的悖论都是对概率乘法公式的非形式误解而产生的直觉冲突。早在1987年，戴维通过对证人的可靠性、先验概率和后验概率等术语进行解释，在贝叶斯框架中证明了合取难题其实是不存在的。

　　逃票者悖论是新证据法学家常引用的一个典型案例。假设有499人支付了表演比赛的入场费，但有1000人观看了比赛，剩下501人未付费而偷偷进去观看。如果表演场老板对所有观众提起诉讼，只提供统计数据而无其他证据，我们直觉上会认为老板无法从任何观众那里获得赔偿，尽管在每个案例中被告是逃票者的概率都超过了0.50。逃票者悖论引发了两个方面的问题：其一是纯统计证据对法律裁决是否具有证明价值，比如像逃票者悖论这样的案件以及类似的红蓝公交车案和囚徒案等，它们的共同点是综合全案只有统计信息，该信息是否足以证成一个判决；其二是贝叶斯概率论是否与司法事实认定相一致，或者应如何保持一致，这一问题引发了新证据法学家的激烈争论。概率论学者为解决这类悖论提供了多种方案，其中一个解决思路是，主观概率明显不同于客观概率，事实认定者对被告是逃票者的主观概率一定低于0.50，因此需要对被告做出有利的指示裁决。

　　贝叶斯概率维持了主观评价和理性分析的平衡，但面临着参考类选择的困境。参考类选择会直接影响概率数值计算的准确性和概率推理的合理性。如果不能确定适当的参考类，就无法获取相关的频率数据，这会对证据评估和信念度更新的可靠性产生影响。艾伦深刻认识到概率推理中的参考类难题，并在他的论文《证据数学模型的问题价值》中以六个案例阐述了使用概率方法评价证据证明力时面临的参考类问题。实际上，这是一个普遍存在的问题，不仅在司法证明中存在，而且在确定个体具有某种属性的概率时都可能涉及参考类选择。因此，富兰克林提出了三个可行的原则来确定合理参考类，分别是属性相关原则、共变性原则和交集原则。

　　科恩悖论是新证据法学讨论的核心议题。为了解决这一悖论，证据法学家提出了各种解决方案，包括法律概率主义、贝叶斯决策理论和相对似真性理论。这些解决方案可以归为两种路径，即概率主义和解释主义。其中，法律概率主义和贝叶斯决策理论属于前者，相对似真性理论则属于后者。利普顿主张概率主义和解释主义应当紧密结合。他认为，贝叶斯公式为信念度的合理分布提供了一种约束，这一约束与解释主义的观点是一致的。解释主义认为解释性考虑在信念度更新过程中发挥重要作用，并致力于形成一种约束信念度更新方式，但并不是很成功。正因如此，概率主义和解释主义应该成为朋友。近年来，这两种路径开始趋于一致，相互融合对方的理念。2020年，韦尔奇通过贝叶斯决策理论对相对似真性理论进行了实质性修正，捍卫并改进了相对似真性理论。同时，概率论学者在相对似真性理论的基础上，对概率方法即法律概率主义和贝叶斯决策理论进行了有力辩护。

　　司法证明的实践是检验数学模型适当性的标尺。然而，由于概率论本身的形式化要求过高，概率推理在法律领域适用中存在计算复杂性和检察官谬误等风险，这是法学界反对贝叶斯概率的首要原因。第二个原因是法学界对概率方法本身的误解和误用。例如，贝叶斯定理需要以先验概率为输入，但在现实中难以获得精确的先验概率，而设定先验概率与无罪推定的法律原则相悖；不是所有的证据都可以用概率方式进行评价；概率推理存在合取悖论、参考类选择、纯统计证据等难题；似然比模型过于简单等认识误区。第三个原因是法学与数学之间的学科壁垒和领域差异。数学模型中晦涩的符号、复杂的操作以及语言描述的缺乏使法学家将它视为“邪恶”，从而阻碍了数学模型在法律实践中的应用。

　　然而，伴随技术的迭代更新，法律人工智能需要数学模型来实现自动法律推理，为此，司法概率方法隆重登场。在人工智能不断发展的时代，概率论早已被算法化并嵌入到软件工具中，如AgenaRisk、Genie等软件。在这种背景下，智能化概率推理已将数学基本理论进行技术建模和算法编程，无需从数学基本理论出发掌握运算机理。这意味着法律人已从复杂概率运算的桎梏中解放出来，通过人机协同的模式即可实现科学化计算。芬顿、唐诺尼等学者在推广使用贝叶斯人工智能软件辅助审判方面作出了诸多重要贡献。他们运用此类软件程序构建贝叶斯网络模型，并通过分析真实案例，如露西娅·德伯克案和西蒙哈芬谋杀案，消解了许多概率推理谬误。

　　贝叶斯人工智能软件的使用，成功消除了司法证明和概率推理中的技术障碍，从根本上攻克了法律人面临的计算复杂性难题，进而有助于法学与数学联袂化解司法纠纷。2016年，国际联合共同体就“关于证据的贝叶斯推理何时适用以及何时不适用”与“如何使得概率结果能在法庭上被接受，而无需详细解释其基于数学基础原理的计算过程”这两个核心问题已达成共识。司法证明作为一种认识实践活动，具有不确定性。数学中的贝叶斯概率论优势在于，它不仅有效刻画事实推论和信念表达，还为处理这种不确定性推理提供了一套系统性框架。